摘 要：小波阈值萎缩法能够有效地去除图像中的高斯噪声，其中，去噪阈值在很大程度上影响到去噪的效果，而噪声标准差在小波去噪阈值的确定中又起着至关重要的作用。针对医学图像的特点、基于寻找更合适的噪声标准差估计方法，本文提出了一种新的利用模糊均差代替普通标准方差估计噪声标准差的方法。在各层小波分解的低频图像中利用模糊积分估计噪声标准差。然后确定每一层小波去噪阈值，进行图像去噪。试验结果表明，本文算法在去除噪声的同时也较好地保持了图像的细节。
关键词：模糊均差，小波去噪，医学图像。

   医学图像成像系统复杂，在形成和显示过程中引入了噪声，噪声的存在导致医学图像质量下降，影响了医生的诊断。因此，滤除噪声是一步非常必要的图像预处理工作。很多学者研究发现医学图像中噪声按照统计特性可分为高斯噪声、泊松噪声、锐利噪声[1]。本文主要研究医学图像中的高斯噪声的去除。
1  引  言
   在图像去噪领域中，小波理论受到了许多学者的重视，他们应用小波进行去噪,并获得了非常好的效果[2~6] ，小波阈值萎缩法是目前研究最为广泛的小波去噪方法。目前使用的阈值分为全局阈值和局部适应阈值两种，全局阈值对各层所有的小波系数或同一层内的小波系数都是统一的，全局阈值[7]有：①Donoho和Johnstone统一阈值 （其中 为噪声标准方差，N为信号的尺寸或长度），它是在正态高斯噪声模型下，针对多维独立正态变量联合分布，在维数趋向无穷时研究得出的结论，即大于该阈值的系数含有噪声的概率趋于零。在实际应用中使用最为广泛，但是其趋向于将有用的小波系数也去除。对它的简单改进是乘以一个系数 调整阈值的大小[8]；②基于零均值正态分布的置信区间阈值 ，这个阈值是考虑零均值正态分布变量落在区间 之外的概率非常小，所以绝对值大于 的系数一般都被认为主要由信号系数构成。置信区间阈值虽跟图像尺寸无关，但由于随着图像尺寸增大，大的噪声系数出现的数目会增多，并被保留，从而导致误差增大。
  从上面阈值公式看出，阈值的确定很大程度上取决于噪声标准差，上面噪声标准差都是在一定条件下的最优值。但大多数图像都不能满足要求，估计出的噪声标准差有误差，导致去噪效果不理想。本文根据医学图像的特点从标准差的估计入手，提出了一种新的噪声标准差估计方法。医学图像的象素显示出来的亮度是组织密度之间的强弱对比。组织内象素值的变化很小，组织内象素的变化可以看作是由噪声引起的。因医学图像生理特性的特殊性，医学图像组织间的边缘比较模糊。噪声在这一区域也有较明显的体现。噪声直接反映在图像上，而不是进行小波分解后的高频小波系数中，如果能在图像上准确估计噪声标准差将比在小波系数中求标准差更能反映真实的噪声标准差。基于以上思想，我们给出以下去噪的新方法。第一步，进行小波分解，计算各层小波分解低频图像的梯度模值，利用最大类间方差在梯度模意义下把低频图像分割为平坦区域和细节区域。第二步，分别在平坦区域和细节区域利用模糊均差法估计噪声的标准差。对平坦区域和细节区域的标准差再进行取小得到噪声标准差。第三步，利用阈值函数确定去噪阈值，然后采用小波软阈值方法进行去噪。进行小波反变换得到去噪图像。
   2  算法原理
   2.1 图像分割
在图像的平坦区域和细节区域，噪声给人的感觉是不同的。在平坦区域，因区域内图像比较平滑，噪声的加入改变了平坦区域某些点的亮度特性，噪声点比较明显；在细节区域，噪声的加入虽然也改变了某些点的亮度特性，但因图像本身的细节对噪声的掩盖效应，噪声点与平坦区域相比不明显。为了避免图像本身的细节影响标准差的准确性。我们分别考虑平坦区域和细节区域的噪声标准差。

                                  图1 估计噪声标准差流程图
   象素的梯度模值是对各点亮度变化的一种很好的量化，在梯度模大小意义下采用阈值分割，可获得与主观视觉比较吻合的分割效果。
   Sobel边缘检测算子不但产生较好的检测效果，而且对噪声具有平滑作用，我们采用Sobel算子计算图像梯度。基于类间方差最大化的分割算法一直被认为是分割阈值自动选取的最优方法[9]。它将图像分为背景与目标两类，通过搜索计算类间方差最大值，得到最优阈值。实验中我们采用类间方差最大化算法进行图像分割。  
   2.2 估计噪声标准方差
   模糊均差[10]是用模糊积分来计算均方差，从思维方法的角度来看，基于求和的传统积分体现的是人的线性思维，而基于求大求小的模糊积分体现的是人的一种非线性思维。模糊均差定义如下：设 ，函数 关于测度 的Sugeno模糊积分为：  
（1）
   这里 表示下标被重排后使得     并且 。 的定义为：
                 （2）                        
   这里 表示集合元素的个数。 表示采样数据的个数， 是一个重要性测度，随着 值的逐渐增大， 在 中占的比例逐渐减小，它的重要性也逐渐变小，反之亦然。
   对于一个图像块  ( ， 代表细节区域或 代表平坦区域)将其灰度值归一化后记为 ，模糊均差定义为：
                                                        （3）
   这里 代表图像块 上归一化的均值， 表示由图像对应象素灰度差的绝对值组成的向量。如果把这个函数中的积分号看成普通积分 ，那么它就变成了标准方差。标准方差是图像中各点噪声差的一个简单平均，没有考虑象素灰度差之间的差别。图像象素灰度差可能由噪声的加入引起的，也可能由图像的灰度变换引起的，或者两者因素都有。向量 的这种不确定性可以看成模糊性，利用模糊均差代替普通标准差估计噪声标准差正是基于这种模糊性。
   2.3 去噪
   随着小波分解层数的增多，噪声量在下降，噪声标准差也相应减小。各小波分解层上的去噪阈值不应是统一的，每个分解层需要确定一个噪声标准差。我们知道第 层上的小波系数是由第 层上的近似系数分解得到，为了保证估计出的噪声标准差更接近真实的噪声标准差。我们在各层低频图像中估计下一层的噪声标准差。即在第 层的小波近似系数中用模糊均差法估计噪声标准差 ，利用阈值函数公式 得出第 层的小波噪声阈值。其中 是调整参数。当图像的细节较多时，图像的细节对噪声方差的计算起较大的干扰作用，估计出的噪声标准差偏大。所以，要乘以一个小于1的数进行调整，具体值要根据图像的细节，细节越多，系数越小；当图像的细节较少时，此时有部分噪声也被作为了图像的值，估计出的噪声方差偏小，所以要乘以一个大于1的数，一般在1～2之间。迄今为止图像细节也没有确切的定义，所以 也不能依据细节自动的确定，我们只能直观判断，这种方法虽不太精确，但大多数情况下简单有效。在第 层三个方向的高频系数中进行软阈值去噪，然后进行重构得出去噪后图像。
   小波变换可以灵活选择变换基，我们根据文献[11]中得出的规律来选择图像去噪过程中的小波基。试验中选用db8正交小波作为基，分解层数为3层。
   3  实验结果及分析
   用本文提出的算法在多种医学图像上进行了测试，试验结果表明，在噪声较小的情况下本文算法能得到较好的效果。
   图2为不同噪声水平下，几种方法去噪后PSNR比较。其中，横轴表示加噪水平，从5％～100％；

                       图2 不同噪声水平下、不同方法去噪后图像的PSNR。
   纵轴表示去噪后图像的PSNR。src表示加噪图像的PSNR，dwt 表示用改进的统一阈值去噪后图像的PSNR，own dwt表示用本文提出的算法去噪后图像PSNR，wiener表示用维纳滤波器滤波后图像的PSNR，dwt 3d表示用基于零均值正态分布的置信区间阈值去噪后图像的PSNR。从上面图可以看出，本文算法去噪后的PSNR较其他方法有较明显的优势。如图3，其中，图(a1)， (b1)， (c1)，(d1)，(e1) ，
(f1)分别表示图(a)， (b)， (c)，(d)，(e)，(f)中截取的一个局部图。从图3可以看出，改进的dwt方法去噪后图像的噪声有残留。本文算法结果去噪较彻底，去噪后图像平滑，参数 。Wiener滤波去噪后边缘保持较好，但噪声也有残留且图像出现轻微的块效应，基于零均值正态分布的置信区间阈值去噪结果也彻底，但是去噪后图像太模糊了，图像细节当作噪声去除了。

                                  图3 脑图像及几种处理结果
   4 结 论
   从试验结果可以看出，本文算法去噪后的PSNR值较优，所以估计出的噪声标准差比Donoho和Johnstone估计出的噪声标准差更能反应噪声在不同小波分解层上的分布规律。阈值去噪和细节保持是一对矛盾，不能达到双赢的局面。两者之间只能有一个合适的折衷。综合这两个方面，本算法在去除噪声的同时细节保持较好。

参 考 文 献

[1]  Pierre Gravel, Gilles Beaudoin, and Jacques A. De Guise. A Method for Modeling Noise in Medical Images [J], IEEE Transactions on Medical Imaging, October, 2004, 10(23):1221-1232.
[2] Ching P C, So H C, Wu SQ. On wavelet denoising and its applications to time delay estimation [J]. IEEE Trans. Signal Processing, 1999, 47 (10): 2879～ 2882.
[3] W. G. Weng, W. C. Fan, G. X. Liao and J. Qin Wavelet-ba sed image denoising in (digital) particle image velocimetry [J] In：Signal Processing, 2001, 81(7): 1503-1512
[4] S. M. Mahbubur Rahman and Md. Kamrul Hasan Wavelet-domain iterative center weighted median filter for image denoising[J] In: Signal Processing, May 2003,5(83):1001-1012
[5] Cláudio Rosito Jung and Jacob Scharcanski Adaptive image denoising and edge enhancement in scale-space using the wavelet transform[J], In: Pattern Recognition Letters, April 2003,7(24): 965-971
[6] M. E. Zervakis, V. Sundararajan and K. K. Parhi Vector processing of wavelet coefficients for robust image denoising [J] In: Image and Vision Computing, May 2001,7(19): 435-450
[7] 蔡敦虎，多种小波基的图像去噪性能研究, 硕士论文, 武汉大学应用数学系,2003年。
[8] 汤乐民 李敏  基于小波变换的医学图像去噪声处理，中国医学物理学杂志，2004年7月第21卷第4期：202～204。
[9] Otsu N. Discriminant and least square threshold selection. In: Proc 4IJCPR, 1978:592-596.
[10] J. Li, Z. Chi, and G. Chen, Split Decision Function Using Fuzzy Integral，Proceedings of 2004 International Symposium on Intelligent Multi media, Video & Speech Processing, 534-537,2004.
[11] 蔡敦虎，弈旭明，小波基的选择对图像去噪的影响【J】，数学杂志，25（2）：185～190。