摘 要:  以曲波（Curvelet）变换和轮廓波（Contourlet）变换为代表，多尺度几何分析的发展给图像处理及高维数据分析带来深刻的影响。针对目前模型主要以自然图像的简化模型为基础进行分析，导致与真正的自然图像还相差甚远的特点，本文采用直方图估计曲波域和轮廓波域的边缘分布，分析联合分布统计信息，提出曲波域广义高斯模型和轮廓波域隐马尔可夫模型，2模型都能够有效地描述变换域系数在尺度间，尺度内和方向间的统计相关性，便于对更加复杂的图像进行处理。
关键词:  曲波变换； 轮廓波变换；广义高斯模型；隐马尔可夫模型

1 引 言
         小波变换对一维分段光滑函数具有很好的非线性逼进性能，能稀疏的表示一维信号。而它对具有线奇异的二维分段函数并不是最优基，小波系数不再是稀疏的。因此，Candes和 Donoho倡导一系列新的图像表示系统—Curvelet，Contourlet等。对含光滑曲线奇异的二维分段光滑函数，Curvelet和Contourlet都具有近似最优逼进的性能，可以高度反映的方向性和各向异向性。
    Curvelet采用楔形基来逼近C²的奇异点，对物体边缘信息的最优稀疏表示。文献[1]提出的快速曲波变换（又称二代曲波），采用3个参数的结构（尺度，方向，空间位置），极大的简化原先曲波的7个参数的复杂结构。因而，进一步推动其在图像处理和分析中的应用。
    而Contourlet变换作为一种“真正”的图像二维表示方法，能捕捉到图像信息内在的几何结构特征，也称为塔型方向滤波器组(PDFB)分解。它采用双重滤波器组结构，是结合塔形分解(LP)和方向滤波器组(DFP)实现的一种多分辨的、局域的、方向的图像表示方法。
    鉴于这些多尺度几何变换具备丰富方向性信息等适合图像处理的特征，探讨它们的统计模型具有十分重要的现实意义。本文对这曲波变换和轮廓波变换的统计模型进行研究和讨论。采用直方图估计曲波域和轮廓波域的边缘分布和联合分布统计信息。采用广义高斯模型逼进每个子带系数分布，分析各个模型的参数，比较了曲波域广义高斯模型，轮廓波域广义高斯模型和轮廓波域隐马尔可夫模型，并指出进一步研究的方向。

2 子波系数关系
2.1 Curvelet系数关系
    Curvelet自99年提出以来，大量关于其数字实现算法的研究推动着曲波应用。E.J.Cand`es等提出的二代曲波，以其简洁的参数结构和低冗余度，受到图像分析和处理领域的青睐。曲波基的支撑区间是尺度变化遵守各向异性尺度关系(Anisotropy Scaling Relation）的“长条型区域”。详细的理论及实现可以参看文献[1]。
    对于每个曲波系数X，如图1，可将其同一方向的周围8个节点定义为邻域NX；同空间域位置不同尺度（粗尺度j+1）定义为父节点PX；同尺度同空间域里定义为堂兄节点CX。小波变换的系数只从水平，垂直和对角3个方向来解释图像，但曲波变换的系数可从任意多个方向来分析。
                    

2.2 Contourlet系数关系
    Contourlet变换也是一种小波变换理论的扩展，运用多尺度和方向滤波器来实现，提供小波变所不能提供的多方向信息^[3]。 如曲波系数关系一样，每个轮廓波系数X的关系如图2，可以看出每个系数有一个父节点，4个子节点。轮廓波系数可以从2的任意次幂个方向来分析。
                   
    以曲波和轮廓波为代表的多尺度几何变换都可以从尺度间，尺度内和方向间3个方面来描述系数之间的关系。而定义每个子波系数的父节点PX，邻域NX，堂兄节点CX统称为推广的领域（generalized neighborhood）。这些关系在建模过程中扮演着十分重要的角色。

3 统计模型
3.1 Curvelet统计模型
    我们采用先直方图来估计边缘分布。图3为Lena图像curvelet变换后，任选最细尺度中一子带系数的边缘统计信息。从图中可看出，系数为零的地方出现高尖峰，两边为长脱尾，体现其系数的稀疏性。系数分布的峰度（kurtosis）分别为33.1052，远高于高斯分布的峰度3，这种情况对图像其余方向和尺度同样存在。图像曲波域的系数的边缘分布为非高斯分布。
    利用子带系数的边缘分布特征来建立模型，实验表明，子带系数的边缘分布可以有下面这个广义高斯密度函数来逼进，它主要是由广义高斯分布的2
个参数来决定的：
            
    图3（b）中，尺度参数为0.029 4，形状参数为0.5059，这两个参数就代表该曲波子带系数的边缘分布统计特征。
       

3.2 Contourlet统计模型
    图4为Lena图像contourlet变换后，最细尺度中的一子带系数的边缘统计信息。从图中可以看出，系数为零的地方出现高尖峰，两边为长脱尾，峰度（kurtosis）为16.7995，Contourlet系数同样为非高斯分布。Contourlet系数的幅值关于父系数，邻居系数，以及表兄弟系数的条件分布峰度值接近于高斯峰度值3，大幅值系数沿着图中对象的边聚类。
    同样采用广义高斯模型来逼进子带系数特征，图4（b）中，尺度参数为0.0251，形状参数为0.7703，这两个参数也可以代表该轮廓波子带系数的边缘分布统计特征。
        

    另外一种模型叫Contourlet域隐马尔可夫树(CHMT)模型。文献[3]采用一个2状态，零均值的高斯混合模型来（GMM）来拟合Contourlet系数的概率密度分布：
                                 
其中，为隐状态变量，为概率质量函数（pmf），，，分别为高斯均值和方差，

4 实验分析

    实验过程中，我们发现对于典型的自然图像（大部分是光滑区域），如Lena图像（512×512），采用曲波GGD模型或轮廓波GGD模型表示图像，仿真结果表明其形状参数的范围落在0.5到1的范围。而如果对纹理图像库，进行轮廓波3层分解，采用GGD模型来逼进轮廓波系数特征，仿真结果表明形状参数的范围大部分落在0.7到2的范围。这些参数特点对多尺度几何分析的图像去噪提供很重要的信息。
    而轮廓波域隐马尔可夫树模型在图像去噪，检索，分割等方向，均能够有效表示不同纹理，同时很好的保留边缘方向信息。视觉效果和评价参数均说明了该模型的有效性^[3] 。
    这些模型对图像处理和分析领域都有一定的实用参考价值，根据不同的应用要求，可以方便的选用各子波模型。

5 总结及展望
    本文探讨的多尺度变换域统计模型都能够有效地描述变换域系数在尺度间，尺度内和方向间的统计相关性，是新的统计图像感知与识别方法。这些模型在图像感知、处理和分析中都有最新进展， 其应用潜力也是不可小视。这一领域研究中应用：图像去噪，图像复原和图像纹理分割等都值得进一步研究和探讨。

参 考 文 献
[1] E.J.Cand`es, L. Demanet, D.L.Donoho and L.Ying. Fast discrete curvelet transforms[R].Applied and Computational Mathematics, 2005，California Institute of Technology.
[2] Larbi Boubchir, Jalal M. Fadili. Multivariate statistical modeling of images with the curvelet transform[J].IEEE Transactions on Image Processing, 2005，10(7), pp. 747~750.
[3] Ducan D.-Y. Po, Minh N. Do. Directional Multiscale Modeling of Image Using the Contourlet Transform[J] .IEEE Transactions on Image Processing, 2006，15(6), pp. 1610~1620.
[4] Jiao Licheng,Sun Qiang. Advances and  Perspective on Image Perception and Recognition in Multiscale Transform Domains[J]. CHINESE JOURNAL OF COMPUTERS,2006, 29(2)：177~193.[焦李成，孙 强.多尺度变换域图像的感知与识别：进展和展望[J].计算机学报，2006，29(2)：177~193]